Ad esempio una barretta metallica sottile, di cui è noto il coefficiente di dilatazione termica λ, quando viene spostata da un ambiente a temperatura ad un ambiente a temperatura T, ad esempio maggiore di , subisce una dilatazione che si ammette sia proporzionale alla variazione di temperatura T-, quindi la misura della variazione della lunghezza della barretta metallica consente di calcolare la temperatura dell'ambiente in cui è immersa, se si conosce la temperatura iniziale della barretta.
- La temperatura iniziale e la lunghezza iniziale della lamina metallica rappresentano lo stato dello strumento di misura,
- La temperatura T rappresenta la variabile di ingresso, cioè la causa di una modifica della lunghezza della barretta,
- La variazione di lunghezza L-della lamina metallica rappresenta la variabile di uscita.
il coefficiente di dilatazione termica λ è un parametro, cioè un ingresso che resta costante e dipende solo dal materiale di cui è fatta la lamina.
Il modello del sistema rappresenta la relazione che permette di calcolare il valore della variabile di uscita a partire dal valore della variabile di stato e della variabile di ingresso, nel nostro caso deve essere:
L - = λ·(T - )
La rappresentazione grafica del modello matematico dello strumento viene ottenuta riportando sull'asse delle ascisse i valori della variabile da misurare T e sull'asse delle ordinate i valori della variabile osservata L. Il risultato è una retta, detta anche retta ideale perchè lungo essa dovrebbero disporsi tutte le misure. Nella pratica però le misure reali si discostano da quelle fornite dal modello a causa della presenza di disturbi.
A seconda dello strumento i disturbi potrebbero essere provocati da numerose cause quali ad esempio le interferenze provenienti da altre sorgenti, la vicinanza di una persona, l’inclinazione del tavolo su cui viene posto lo strumento, l’usura dei meccanismi dello strumento, l’invecchiamento delle parti interne, le impurità dell’ambiente, ecc.
Ripetendo le misure si potrebbero quindi trovare ogni volta valori diversi e non si può mai dire quali sono le misure reali. Supponendo di voler tarare una bilancia disponendo di pesi campione si rileva lo spostamento dell’ago in corrispondenza di ciascun peso.
Si indichi con X il valore del peso campione e con Y lo spostamento dell’ago. Se per esempio le misure rilevate sono quelle in tabella, riportandole su un diagramma cartesiano si trova che queste non sono disposte su una retta, cioè lo strumento non ha un comportamento lineare e le suddivisioni sulla scala dello strumento sarebbero di larghezza irregolare, riproducendo gli errori presenti durante la taratura.
La retta ideale deve rappresentare il baricentro delle misure, cioè la somma degli errori commessi in eccesso deve essere uguale alla somma degli errori commessi in difetto, ovvero le misure si devono trovare ai lati di questa retta in modo tale che la somma algebrica degli errori sia nulla.
L’equazione di una retta, passante per l'origine, è y= m·x Dove m è dato dal rapporto tra la media dei prodotti X·Y con la media dei quadrati di X:
m =
Ricerca della retta dei minimi quadrati con un foglio Excel.
Riportare i valori della tabella nell’intervallo delle celle A1:B11 di un foglio Excel.
Calcolo del prodotto X1·Y1: Nella cella C2 scrivere la formula =A2*B2
Calcolo del quadrato di X1: Nella cella D2 scrivere la formula =A2*A2
Calcolo dei restanti prodotti
e dei quadrati : Selezionare le due celle C2 e D2. Copiarle. Selezionare
l’intervallo C3:D11 e incollare le formule.
Calcolo della media dei
prodotti : Nella cella C12 scrivere la formula
=MEDIA(C2:C11).
Calcolo della media dei quadrati dei valori : Nella cella D12 scrivere la formula
=MEDIA(D2:D12)
Calcolo del coefficiente m della retta ideale: Nella cella E1 scrivere la formula:
Nella cella E2 calcolare il valori ideali di Y, scrivendo la formula:
Selezionare la cella E2. Copiarla. Selezionare l’intervallo E3:E11 e incollare la formula.
Costruire il grafico dei valori dell’intervallo B2:B11 e dei valori dell’intervallo E2:E11.
Analisi dei risultati.
Per ogni misura calcolare l’errore rispetto al valore ideale.
Calcolare l’errore massimo.
Calcolare la media degli errori.
Ottenere un grafico delle misure reali e delle misure disposte lungo la retta ideale.